Anualidad

La anualidad es una serie de pagos o retiros iguales que se hacen con una periodicidad constante al inicio o al final de cada periodo.

Al igual que para el pago único, al usar las fórmulas para anualidad, estas deben usar las tasas de interés de tipo efectivo en su forma vencida y los periodos también deben estar expresados en la misma periodicidad de la tasa.

Anualidad vencida.

Esta anualidad se presenta cuando los pagos o retiros se hacen al final de cada periodo.

Anualidad anticipada.

Esta anualidad se presenta cuando los pagos o retiros se hacen al principio de cada periodo.

Representación grafica de una anualidad.

Las siguientes imágenes representan gráficamente una anualidad tanto para el caso vencido como para el caso anticipado.

Valor presente de una anualidad

Las siguientes formulas permiten obtener el valor presente de una anualidad tanto para el caso anticipado como para el caso vencido.

\(P = \frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}{i}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad vencida (Versión 1)

\(P = \frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]\left( {1 + i} \right)}}{i}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad anticipada (Versión 1)

\(P\), Valor presente.

\(A\), Valor de la anualidad.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

O también se pueden usar las siguientes formulas, que son básicamente las mismas que las anteriores, pero lucen diferentes porque se les han realizado algunas operaciones algébricas adicionales.

\(P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{{\left[ {i{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad vencida (Versión 2)

\(P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left[ {i{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad anticipada (Versión 2)

\(P\), Valor presente.

\(A\), Valor de la anualidad.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

Valor futuro de una anualidad.

Las siguientes formulas permiten obtener el valor futuro de una anualidad tanto para el caso anticipado como para el caso vencido.

\(F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{i}\)
Fórmula para valor futuro de una anualidad vencida

\(F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{i}\)
Fórmula para valor futuro de una anualidad anticipada

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor de la anualidad.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

Valor de la anualidad de una anualidad.

Las siguientes formulas permiten obtener el valor de la anualidad de una anualidad tanto para el caso anticipado como para el caso vencido.

\(A = \frac{{Pi}}{{\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad vencida (Conociendo el valor presente)

\(A = \frac{{Pi}}{{[[1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}\left] {\left( {1 + i} \right)} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad anticipada (Conociendo el valor presente)

\(A = \frac{{Fi}}{{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad vencida (Conociendo el valor futuro)

\(A = \frac{{Fi}}{{\left[ {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad anticipada (Conociendo el valor futuro)

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

Número de periodos de una anualidad.

Las siguientes formulas permiten obtener el número de periodos de una anualidad tanto para el caso anticipado como para el caso vencido.

\(n = - Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {1 - \frac{{Pi}}{A}} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad vencida (Conociendo el valor presente)

\(n = - Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {1 - \frac{{Pi}}{{\left[ {A\left( {1 + i} \right)} \right]}}} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad anticipada (Conociendo el valor presente)

\(n = Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {\frac{{Fi}}{A} + 1} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad vencida (Conociendo el valor futuro)

\(n = Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {\frac{{Fi}}{{\left[ {A\left( {1 + i} \right)} \right]}} + 1} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad anticipada (Conociendo el valor futuro)

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor de la anualidad.

\(i\), Tasa de interés.

Tasa de interés de una anualidad.

Para este caso no es posible obtener una expresión explicita para “\(i\)” ya que las fórmulas en donde se relaciona no permiten de manera algebraica obtenerla es por esto que lo que se debe hacer es iterar el valor de la tasa de interés hasta llegar a una tasa de interés que satisfaga las condiciones.

Lo que se recomienda en estos casos es usar alguna de las siguientes expresiones según los datos que se tengan e iterar el valor de la tasa hasta llegar a la condición.

Las siguientes ecuaciones permiten obtener la tasa de interés de una anualidad tanto para el caso anticipado como para el caso vencido

\(\frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}{i} - P = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad vencida (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor presente)

\(\frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}{i} - \frac{P}{{\left( {1 + i} \right)}} = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad anticipada (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor presente)

\(\frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{i} - F = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad vencida (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor futuro)

\(\frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{i} - \frac{F}{{\left( {1 + i} \right)}} = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad anticipada (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor futuro)

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor de la anualidad.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

Aquí, se puede encontrar una serie de ejercicios relacionados con las fórmulas, en donde se puede hacer tablas de amortización.

Resumen de las fórmulas para anualidad

\(P = \frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}{i}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad vencida (Versión 1)

\(P = \frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]\left( {1 + i} \right)}}{i}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad anticipada (Versión 1)

\(P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{{\left[ {i{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad vencida (Versión 2)

\(P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left[ {i{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}\)
Fórmula para valor presente de una anualidad anticipada (Versión 2)

\(F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{i}\)
Fórmula para valor futuro de una anualidad vencida

\(F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{i}\)
Fórmula para valor futuro de una anualidad anticipada

\(A = \frac{{Pi}}{{\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad vencida (Conociendo el valor presente)

\(A = \frac{{Pi}}{{[[1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}\left] {\left( {1 + i} \right)} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad anticipada (Conociendo el valor presente)

\(A = \frac{{Fi}}{{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad vencida (Conociendo el valor futuro)

\(A = \frac{{Fi}}{{\left[ {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)} \right]}}\)
Fórmula para valor de la anualidad de una anualidad anticipada (Conociendo el valor futuro)

\(n = - Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {1 - \frac{{Pi}}{A}} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad vencida (Conociendo el valor presente)

\(n = - Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {1 - \frac{{Pi}}{{\left[ {A\left( {1 + i} \right)} \right]}}} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad anticipada (Conociendo el valor presente)

\(n = Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {\frac{{Fi}}{A} + 1} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad vencida (Conociendo el valor futuro)

\(n = Lo{g_{\left( {1 + i} \right)}}\left( {\frac{{Fi}}{{\left[ {A\left( {1 + i} \right)} \right]}} + 1} \right)\)
Fórmula para número de periodos de una anualidad anticipada (Conociendo el valor futuro)

\(\frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}{i} - P = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad vencida (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor presente)

\(\frac{{A\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}} \right]}}{i} - \frac{P}{{\left( {1 + i} \right)}} = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad anticipada (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor presente)

\(\frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{i} - F = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad vencida (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor futuro)

\(\frac{{A\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1} \right]}}{i} - \frac{F}{{\left( {1 + i} \right)}} = 0\)
Ecuación para valor tasa de interés de una anualidad anticipada (Iterar la tasa de interés - Conociendo el valor futuro)

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor de la anualidad.

\(i\), Tasa de interés.

Cabe anotar que las fórmulas más importantes son las fórmulas de valor presente y valor futuro, ya que todas las demás se pueden obtener a partir de despejar las otras variables o iterar la tasa de interés si es el caso.