Gradiente geométrico.

El gradiente aritmético es una serie de pagos o retiros que se hacen con una periodicidad constante al inicio o al final de cada periodo y en donde cada pago o retiro va variando una proporción constante “\( G \)”, en cada periodo subsiguiente.

Las siguientes graficas muestran como es el perfil de un gradiente geométrico.

Para el gradiente geométrico se tienen dos escenarios, uno cuando \( G\ne i \) y otro cuando \( G=i \), siendo el primer escenario el más común. Recordar que al igual que para todas las otras series de pagos, estas fórmulas deben usarse con tasas de interés efectivas en su forma vencida y la periodicidad de la tasa debe ser igual a la de la frecuencia de los pagos.

Valor presente de un gradiente geométrico

A continuación, se muestran las expresiones matemáticas para el cálculo del valor presente tanto para el caso anticipado como para el caso vencido y además los dos escenarios en donde \( G\ne i \) y \( G=i \).

\( P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico vencido \( G\ne i \).

\( P = \frac{{nA}}{{\left( {1 + i} \right)}} \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico vencido \( G=i \).

\( P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico anticipado \( G\ne i \).

\( P = nA \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico anticipado \( G=i \).

\(P\), Valor presente.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)

Valor futuro de un gradiente geométrico.

La siguiente formula permite calcular el valor futuro del gradiente, para un gradiente vencido y para un gradiente anticipado y también para los casos donde \( G\ne i \) y \( G=i \).

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico vencido \( G\ne i \).

\( F = \frac{{nA{{\left( {1 + i} \right)}^n}}}{{\left( {1 + i} \right)}} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico vencido \( G=i \).

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico anticipado \( G\ne i \).

\( F = nA{\left( {1 + i} \right)^n} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico anticipado \( G=i \).

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)

Valor del primer pago de un gradiente geométrico.

Las siguientes 4 formulas permiten el calculo del valor presente de un gradiente geométrico, en el caso de que se conozca el valor presente de la serie de pagos.

\( A = \frac{{P\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( A = \frac{{P\left( {1 + i} \right)}}{n} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\( A = \frac{{P\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( A = \frac{P}{n} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\(P\), Valor presente.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)

Las cuatro fórmulas que siguen también permiten calcular el valor del primer pago, solo que en este caso se conoce el valor futuro de la serie de pagos.

\( A = \frac{{F\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \) - Conociendo el valor futuro).

\( A = \frac{{F\left( {1 + i} \right)}}{{\left[ {n{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \) - Conociendo el valor futuro).

\( A = \frac{{F\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]\left( {1 + i} \right)} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \) - Conociendo el valor futuro).

\( A = \frac{F}{{\left[ {n{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \) - Conociendo el valor futuro).

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)

Número de periodos de un gradiente geométrico.

Para el cálculo del número de periodos de un gradiente geométrico, solo es posible obtener expresiones explicitas cuando se tiene el valor presente que es la única expresión de la cual se puede despejar analíticamente el valor de n, para el caso del valor futuro, lo que se debe hacer es hacer una ecuación con el valor futuro igualarla a cero y luego iterar el valor de n, hasta obtener el valor que satisface la ecuación.

\( n = Lo{g_{\left[ {\frac{{\left( {1 + G} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)}}} \right]}}\left[ {\frac{{P\left( {G - i} \right)}}{A} + 1} \right] \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( n = \frac{{P\left( {1 + i} \right)}}{A} \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\( n = Lo{g_{\left[ {\frac{{\left( {1 + G} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)}}} \right]}}\left[ {\frac{{P\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {A\left( {1 + i} \right)} \right]}} + 1} \right] \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( n = \frac{P}{A} \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\(P\), Valor presente.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)

En las siguientes ecuaciones se debe iterar el numero de periodos hasta satisfacer la ecuación, ya que no existe manera analítica de despejar el “\( n \)”.

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\( \frac{{nA{{\left( {1 + i} \right)}^n}}}{{\left( {1 + i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - \frac{F}{{\left( {1 + i} \right)}} = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\( nA{\left( {1 + i} \right)^n} - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)

Tasa de interés de un gradiente geométrico.

Para la obtener la tasa de interés de un gradiente geométrico en algunas situaciones es posible obtener analíticamente en otras ocasiones es necesario plantear una ecuación, igualarla a cero e iterar la tasa hasta obtener la condición requerida.

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - P = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor presente).

\( i = \frac{{nA}}{P} - 1 \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\(G=i\) - Conociendo el valor presente).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} - P = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor presente).

\( i:Es\;indiferente. \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\(G=i\) - Conociendo el valor presente).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor futuro).

\( i = {\left[ {\frac{F}{{\left( {nA} \right)}}} \right]^{\left[ {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)}}} \right]}} - 1 \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\(G=i\) - Conociendo el valor futuro).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor futuro).

\( i = {\left[ {\frac{F}{{\left( {nA} \right)}}} \right]^{\left( {\frac{1}{n}} \right)}} - 1 \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\(G=i\), - Conociendo el valor futuro).

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)

Resumen fórmulas del gradiente geométrico

\( P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico vencido \( G\ne i \).

\( P = \frac{{nA}}{{\left( {1 + i} \right)}} \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico vencido \( G=i \).

\( P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico anticipado \( G\ne i \).

\( P = nA \)
Fórmula para valor presente de un gradiente geométrico anticipado \( G=i \).

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico vencido \( G\ne i \).

\( F = \frac{{nA{{\left( {1 + i} \right)}^n}}}{{\left( {1 + i} \right)}} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico vencido \( G=i \).

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico anticipado \( G\ne i \).

\( F = nA{\left( {1 + i} \right)^n} \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente geométrico anticipado \( G=i \).

\( A = \frac{{P\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( A = \frac{{P\left( {1 + i} \right)}}{n} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\( A = \frac{{P\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( A = \frac{P}{n} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\( A = \frac{{F\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \) - Conociendo el valor futuro).

\( A = \frac{{F\left( {1 + i} \right)}}{{\left[ {n{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \) - Conociendo el valor futuro).

\( A = \frac{{F\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]\left( {1 + i} \right)} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \) - Conociendo el valor futuro).

\( A = \frac{F}{{\left[ {n{{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \) - Conociendo el valor futuro).

\( n = Lo{g_{\left[ {\frac{{\left( {1 + G} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)}}} \right]}}\left[ {\frac{{P\left( {G - i} \right)}}{A} + 1} \right] \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( n = \frac{{P\left( {1 + i} \right)}}{A} \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\( n = Lo{g_{\left[ {\frac{{\left( {1 + G} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)}}} \right]}}\left[ {\frac{{P\left( {G - i} \right)}}{{\left[ {A\left( {1 + i} \right)} \right]}} + 1} \right] \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \) - Conociendo el valor presente).

\( n = \frac{P}{A} \)
Fórmula para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \) - Conociendo el valor presente).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\( \frac{{nA{{\left( {1 + i} \right)}^n}}}{{\left( {1 + i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico vencido (\( G=i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - \frac{F}{{\left( {1 + i} \right)}} = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\( nA{\left( {1 + i} \right)^n} - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos de un gradiente geométrico anticipado (\( G=i \), Iterar número de periodos - Conociendo el valor futuro).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - P = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor presente).

\( i = \frac{{nA}}{P} - 1 \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\(G=i\) - Conociendo el valor presente).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n}{{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}} - 1} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} - P = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor presente).

\( i:Es\;indiferente. \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\(G=i\) - Conociendo el valor presente).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]}}{{\left( {G - i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor futuro).

\( i = {\left[ {\frac{F}{{\left( {nA} \right)}}} \right]^{\left[ {\frac{1}{{\left( {n - 1} \right)}}} \right]}} - 1 \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico vencido (\(G=i\) - Conociendo el valor futuro).

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + G} \right)}^n} - {{\left( {1 + i} \right)}^n}} \right]\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {G - i} \right)}} - F = 0 \)
Ecuación para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\( G\ne i \), Iterar tasa de interés - Conociendo el valor futuro).

\( i = {\left[ {\frac{F}{{\left( {nA} \right)}}} \right]^{\left( {\frac{1}{n}} \right)}} - 1 \)
Fórmula para tasa de interés de un gradiente geométrico anticipado (\(G=i\), - Conociendo el valor futuro).

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n\), Numero de periodos.

\(i\), Tasa de interés.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en porcentaje)