Gradiente aritmético escalonado.

El gradiente aritmético escalonado es una serie de pagos o retiros que se hacen con una periodicidad constante al inicio o al final de cada periodo y en donde los pagos se mantienen constante durante otra cierta periodicidad pero que al cabo de esta otra cierta periodicidad el pago o retiro varia de una manera escalonada una cantidad constante “G”, para luego permanecer constante nuevamente en cada una de esta otra cierta periodicidad subsiguiente.

Las siguientes graficas muestran como es el perfil de un gradiente aritmético escalonado.

Esta serie de pagos empieza hacer bastante dispendiosa y engorrosa de manejar algebraicamente. Por lo que en esta parte solo se analizara los casos de valor presente, valor futuro y el valor del primer pago del gradiente aritmético escalonado. Para el cálculo del número de periodos y la tasa de interés solo se indicará la ecuación que se puede emplear y simplemente indicar que en estos casos se realiza la iteración respectiva del parámetro que se quiere hallar.

Valor presente de un gradiente aritmético escalonado.

Las siguientes formulas permiten hallar el valor presente de un gradiente aritmético escalonado, tanto para el caso vencido como para el caso anticipado.

\(P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right]\)
Fórmula para valor presente de un gradiente aritmético escalonado vencido.

\( P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right] \)
Fórmula para valor presente de un gradiente aritmético escalonado anticipado.

\(P\), Valor presente.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n_1\), Numero de periodos iguales que hay en cada periodo escalonado.

\(n_2\), Numero de periodos escalonados.

\(i_1\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los pagos o retiros iguales.

\(i_2\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los periodos escalonados.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en moneda)

Valor futuro de un gradiente aritmético escalonado.

Las siguientes formulas permiten hallar el valor futuro de un gradiente aritmético escalonado, tanto para el caso vencido como para el caso anticipado.

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente aritmético escalonado vencido.

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente aritmético escalonado anticipado.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n_1\), Numero de periodos iguales que hay en cada periodo escalonado.

\(n_2\), Numero de periodos escalonados.

\(i_1\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los pagos o retiros iguales.

\(i_2\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los periodos escalonados.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en moneda)

Valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado

Las fórmulas que siguen permiten hacer el cálculo del primer pago o retiro de un gradiente aritmético escalonado, ya sea que se tenga el dato del valor presente de la serie de pagos o el valor futuro de la serie de pagos. Estas fórmulas no suelen usarse mucho ya que este tipo de escenarios son bastante escasos, pero se describen por si en alguna ocasión se requiere hacer este cálculo. Como se puede ver en este nivel ya resulta bastante dispendioso es por esto que muchas veces resulta mejor trabajar con Excel.

\( A = \frac{{\left[ {P - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor presente)

\( A = \frac{{\left[ {\frac{P}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}} - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor presente)

\( A = \frac{{\left[ {F - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor futuro)

\( A = \frac{{\left[ {\frac{F}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}} - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor futuro)

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n_1\), Numero de periodos iguales que hay en cada periodo escalonado.

\(n_2\), Numero de periodos escalonados.

\(i_1\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los pagos o retiros iguales.

\(i_2\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los periodos escalonados.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en moneda)

Numero de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado

Los casos donde se pide la tasa de interés o el número de periodos y resultan aún más escaso que el caso anterior, para poder determinar cualquiera de estas variables lo que definitivamente resulta medianamente practico es usar cualquier de las fórmulas de valor presente o valor futuro que se tienen e iterar la variable que se quiera determinar hasta obtener la condición requerida.

Las siguientes ecuaciones permiten hallar la variable deseada iterando lo que se quiera hallar.

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right] - P = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor presente)

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right] - P = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor presente)

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor futuro)

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor futuro)

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n_1\), Numero de periodos iguales que hay en cada periodo escalonado.

\(n_2\), Numero de periodos escalonados.

\(i_1\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los pagos o retiros iguales.

\(i_2\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los periodos escalonados.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en moneda)

Resumen fórmulas para gradiente aritmético escalonado

\(P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right]\)
Fórmula para valor presente de un gradiente aritmético escalonado vencido.

\( P = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right] \)
Fórmula para valor presente de un gradiente aritmético escalonado anticipado.

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente aritmético escalonado vencido.

\( F = \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] \)
Fórmula para valor futuro de un gradiente aritmético escalonado anticipado.

\( A = \frac{{\left[ {P - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor presente)

\( A = \frac{{\left[ {\frac{P}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}} - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor presente)

\( A = \frac{{\left[ {F - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor futuro)

\( A = \frac{{\left[ {\frac{F}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}} - \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right]} \right]}}{{\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]}} \)
Fórmula para valor del primer pago de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor futuro)

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right] - P = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor presente)

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {1 - {{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{ - {n_2}}}} \right]}}{{{i_2}}} - \frac{{{n_2}}}{{{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}}}}} \right] - P = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor presente)

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left( {{i_1}{i_2}} \right)}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado vencido (Conociendo el valor futuro)

\( \frac{{A\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}} + \left[ {\frac{{G\left[ {{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{{n_1}}} - 1} \right]}}{{\left[ {{i_1}{i_2}{{\left( {1 + {i_1}} \right)}^{ - 1}}} \right]}}} \right]\left[ {\frac{{\left[ {{{\left( {1 + {i_2}} \right)}^{{n_2}}} - 1} \right]}}{{{i_2}}} - {n_2}} \right] - F = 0 \)
Ecuación para número de periodos o tasa de interés de un gradiente aritmético escalonado anticipado (Conociendo el valor futuro)

\(P\), Valor presente.

\(F\), Valor futuro.

\(A\), Valor del primer pago o retiro.

\(n_1\), Numero de periodos iguales que hay en cada periodo escalonado.

\(n_2\), Numero de periodos escalonados.

\(i_1\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los pagos o retiros iguales.

\(i_2\), Tasa de interés con la misma periodicidad de los periodos escalonados.

\(G\), Gradiente (Cantidad fija en moneda)